1861년 스코틀랜드의 물리학자 제임스 클러크 맥스웰(J.C.Maxwell, 1831~1879)에 의해 정리된 맥스웰 방정식은 전자기학의 근본 원리를 정립한 것으로, 전기장과 자기장의 상호작용을 수학적으로 표현하는 네 개의 편미분 방정식으로 구성되어 있다. 전기장과 자기장의 파동방정식을 정리하면서 맥스웰은 전자기파를 예측하였으며, 전자기 현상의 근본 원리를 설명하는 데 매우 중요한 역할을 하게 되었다. 더 중요한 점은 맥스웰 방정식을 통해 전자기파를 예측하고 빛이 전자기파라는 것을 밝히면서 전자기파의 속도가 일정하다는 논리에 따라 빛의 속도가 일정하므로 빛의 속도를 근간으로 정립된 특수상대성이론에 대한 토대를 마련하게 되었다는 점이다. 이번 글에서는 맥스웰 방정식을 간단히 따라가 보면서 그것이 의미하는 것과 또 맥스웰 방정식을 바탕으로 한 전자기학의 주요 개념들을 살펴보고자 한다.
맥스웰 방정식의 개요
1861년 맥스웰(J.C.Maxwell, 1831~1879)에 의해 정리된 맥스웰 방정식은 전기장과 자기장의 시간적, 공간적 변화 관계를 설명하는 네 개의 편미분 방정식으로 이루어져 있다. 네 개의 맥스웰 방정식은 제임스 클러크 맥스웰이 기존의 암페어 법칙, 패러데이 법칙 등 전자기 법칙들을 정리하고, 변위전류라는 새로운 개념을 추가하여 완성하게 된 것이다. 맥스웰의 방정식은 전기장의 근원인 전하에 대한 가우스 법칙(∇·E=ρ/ε₀ : ∇·-divergence 연산자, E-전기장, ρ-전하밀도, ε₀-전기장의 진공유전율), 자기장의 근원인 자하에 대한 가우스 법칙(∇·B=0 : B-자기장), 패러데이 선생의 전자기 유도 법칙(∇×E=-∂B/∂t :∇×-curl 연산자,∂/∂t-시간편미분 ), 암페어 선생의 암페어 법칙을 발전시킨 암페어-맥스웰의 법칙(∇×B=μ₀J+μ₀ε₀∂E/∂t :μ₀-자기장의 진공투자율, J-전류밀도) 이렇게 네 가지로 정리할 수 있다.
맥스웰 방정식의 네 가지 형태의 의미
전하에 대한 가우스의 법칙(∇·E=ρ/ε₀)은 전기장(E)은 전하(ρ)라는 전기장의 근원(source)에 의해 발생하며, 전기장의 근원이 없다면 전기장은 발생하지 않는다는 의미를 포함한다. 이것은 마치 중력장의 근원이 질량인 것과 같이 전기장의 근원이 전하라는 것과 유사한 의미를 갖는다. 그리고 중력에는 음의 질량이 없지만 전하에는 음의 전하가 존재하므로, 음의 전하(밀도) 또는 양의 전하(밀도)를 모두 포함하는 식이기에 홀 전하 자체로 의미를 갖는다. 자기에 대한 가우스 법칙을 살펴보면 ‘∇·B=0’과 같다. 식의 오른쪽 변에 자기장의 근원(0)이 없는데 자기장(B)이 있는가 하고 착각이 들지만, 그보다는 자기장이 존재하는 것은 사실이고 그런데 자기장의 근원이 쌍으로 존재하여 양과 음(N극과 S극)이 같이 존재하므로 그 합이 ‘0’이 된다는 의미로 받아들이는 것이 좋을 듯하다. 그래서 식이 주는 의미를 다시 해석해 보면 자기장은 자기 홀극이 존재하지 않고 늘 쌍극자 형태로 존재해야만 한다는 의미가 된다. 다시 말해 자기홀극은 존재하지 않는다는 의미이다. 그것도 그런 것이 실제로 어려서 가지고 놀던 큰 자석(N극-S극)을 땅에 떨어뜨려 자석이 깨지게 되면 다시 또 작은 두 개의 자석이 되면서 각각은 N극과 S극 쌍을 이루게 된다. 다음으로 패러데이의 전자기 유도 법칙(∇×E=-∂B/∂t)은 자기장이 시간에 따라 변화하게 되면 그에 수직한 방향으로 전기장을 형성한다는 의미를 담고 있다. 좀 더 쉽게는 변화하는 자기장은 전기장을 유도한다는 의미이며, 발전기나 또는 전동기가 가장 대표적인 전자기 유도현상의 원리를 응용한 제품들이다. 마지막에 소개한 암페어-맥스웰의 법칙(∇×B=μ₀J+μ₀ε₀∂E/∂t)은 맥스웰의 업적이라 할 수 있다. 식을 해석해 보면 전류에 의해 자기장이 형성되며 거기에 더해서 변위전류(ε₀∂E/∂t)에 해당하는 시간에 따라 변화하는 전기장이 전기장에 수직인 자기장을 형성하게 된다는 의미를 담고 있다.
맥스웰 방정식의 영향
전술한 대로 맥스웰 방정식은 전기장과 자기장의 상호작용에 대한 내용을 깔끔히 풀어내었다. 방정식 내의 변위전류에 대한 상세한 내용은 다시 논하기로 하고, 암페어-맥스웰 법칙 내에 있는 변위전류 항에서 맥스웰은 기존에 암페어가 정리하였던 전류에 의한 자기장 외에 콘덴서와 같이 서로 연결되어 있지 않은 두 극판 사이에서도 전류가 흘러야 한다는 사실을 발견하게 되면서 변위전류라는 개념을 도입하게 되었다. 그리고 시간에 따른 전기장의 변화가 자기장을 만듦을 통해 전자기파의 존재를 예측하게 되었다. 맥스웰의 방정식 네 식을 조합하게 되면 전자기파에 대한 파동방정식을 얻을 수 있는데, 파동방정식 내에 존재하는 전자기파의 속도를 계산한 후 빛의 속도를 측정한 실험 결과와 비교하였을 때 파동방정식에서 전자기파의 파동속도가 빛의 속도임을 알게 되었다. 문제는 그동안 빛의 속도를 측정하기 위해 부단한 노력이 있었다는 것이다. 우리가 잘 알고 있듯 갈릴레이(1564~1642)의 두 구간 사이에서의 빛의 속도 측정이라던지 천문학자 올레 뢰메르(1644~1710)는 갈릴레이가 발견한 목성 이오를 이용하여 빛의 속도를 측정하는 실험 등 많은 수고가 있었다. 그런데 전자기파의 속도를 아주 쉽게 실험실에서 실험으로 값을 얻을 수 있었던 진공 중 유전율과 진공 중 투자율로 구할 수 있다는 것을 확인하면서 간단한 실험으로 빛의 속도를 얻을 수 있음을 알았고, 전자기파의 파동속도가 일정함을 직감하게 되었다. 그러면서 맥스웰을 존경하던 우리의 영웅 아인슈타인을 통해 특수상대성이론으로 이어질 수 있게 되었다.
정리해 보면, 맥스웰 방정식은 전자기학의 가장 근본이 되는 원리로, 전기장과 자기장의 상호작용을 설명하는 전자기학의 핵심 이론이다. 맥스웰 방정식을 통해 전자기파의 존재가 예측되었고, 빛이 전자기파의 일종이라는 사실이 밝혀졌다. 또한, 맥스웰 방정식은 현대 물리학의 중요한 기초가 되어 특수 상대성이론의 토대가 되었으며, 응용 분야에서도 전자기파 응용 기술, 의료 장비, 통신 기술 등 다양한 분야에서 활용되고 있다. 맥스웰 방정식을 이해하는 것은 전자기 현상을 분석하고 이해하는 데 매우 중요하며, 현대 물리학을 공부하는 데 있어서도 필수적인 과정이다. 그리고 맥스웰 방정식을 바탕으로 발전된 이론들이 우리 눈으로 보고 있는 현재의 과학과 기술을 이끌어가고 있으며, 앞으로도 더욱 정교한 물리학 연구로 이어질 것이라 기대하고 있다.